要約（TL;DR）

ゲーム理論は「人と人がどう動くかを数学で読む学問」。
その出発点はフォン・ノイマン（John von Neumann）という20世紀の天才数学者でした。

1928年、彼は「どんな対戦ゲームでも、必ずお互いに最善の戦略がある」と証明します。これがミニマックス定理。

簡単に言えば──
「相手がどんな手を打ってきても、自分が被る最悪の損失をできるだけ小さくする戦い方」が存在する、ということです。

さらに、1944年に経済学者モルゲンシュテルンと本を書き、期待効用理論をまとめます。
これは「人は不確実な結果を、確率×効用（満足度）の平均で判断する」という考え方で、ゲーム理論を経済や社会科学に応用できる道を開きました。

こうして、「不確実さを戦略に組み込む（混合戦略）」と「相手の反応を先読みする（ミニマックス）」という2つの柱が立ち、そこからナッシュ均衡や協力ゲーム、オークション理論などが広がっていったのです。

1. 何を解く理論か（イントロダクション）

ゲーム理論は、相互依存する意思決定を数学化する。囲碁・将棋だけでなく、価格競争、軍事の抑止、標準規格争い、広告戦略、通信プロトコルまで、相手の出方が自分の結果を左右する場面を扱う。

フォン・ノイマンが与えた視点は明快だ：「相手が自分の損を最大にしようと動くとしても、被害を最小に抑える戦略は何か」。この視点がゼロ和ゲームでのミニマックスへと結晶する。

• 「相互依存する意思決定」
  → 自分の勝ち負けが、相手の選択で変わる状況すべて。
  → 将棋や囲碁だけじゃなく、値下げ競争や軍拡競争、広告バトルもこれに入る。
  

• ゼロ和ゲーム
  → 「一方の得は他方の損」に完全対応する場面。
  → 100点のやり取りなら、相手が +30 点なら自分は −30 点。利害が完全に反対。

• ミニマックスの直感
  → 「相手が最悪の一手を打ってきたとしても、こちらの被害を最小にできる作戦」。
  → 日常の例なら「テストで最も苦手な問題が出ても、0点にならず最低限の点を確保する勉強法」を選ぶイメージ。

2. 歴史の要点（年表）

• 1928：論文 Zur Theorie der Gesellschaftsspiele（社会的遊戯の理論に寄せて）。ミニマックス定理を証明。
• 1944：モルゲンシュテルンと共著 Theory of Games and Economic Behavior。**期待効用の公理系（VNM効用）**と経済学への応用を体系化。
• 1950–51：ナッシュが**非ゼロ和ゲーム一般の均衡概念（ナッシュ均衡）**を提示（フォン・ノイマンの土台の上に拡張）。
• 1953：クーンが**拡張形（木構造）を整備、シャープレイが協力ゲームの価値（Shapley値）**を提示。
• 1967–68：ハーサニが不完備情報のモデル化（型の導入）を確立。

• 1928 ミニマックス
  → 「ゼロ和ゲームには必ず解（安全策）がある」という数学的保証。
  → 将棋や軍事シナリオみたいな「一方が勝てば一方が負ける」場面の基礎。
  

• 1944 期待効用理論
  → ノイマン＋モルゲンシュテルン。
  → 「人間は不確実な選択を、確率×満足度の平均で比較して決める」というルールを整理。
  → ここでゲーム理論が経済学の言語になった。
  

• 1950–51 ナッシュ均衡
  → 「相手の戦略を変えても自分が得をしない」状態。
  → ゼロ和に限らず、協力・競争が混じった場面も扱えるようにした。
  

• 1953 クーン・シャープレイ
  → クーン：ゲームを木（分岐図）として表す仕組みを定義。
  → シャープレイ：協力したときの「報酬の分け前」を公平に決める数式（Shapley値）。
  

• 1967–68 ハーサニ
  → 相手の情報が完全に見えない状況（不完備情報）をモデル化。
  → 「相手がどのタイプか確率で想定する」という枠組みを導入。
  

3. モデルの構成要素（ノイマン流の基礎）

• プレイヤー：意思決定主体。
• 戦略：取りうる行動規則（一次元の選択だけでなく、各情報時点での条件付き行動まで含む）。
• 利得（ペイオフ）：各プレイの結果に対する数値化された評価。ゼロ和では一方の利得が他方の損失。
• 情報：同時手／順番手、完全／不完全情報など。
• 混合戦略：戦略を確率混合する。フォン・ノイマンの革新は、確率選択自体を戦略空間に昇格させた点。

翻訳メモ（自分用）

• プレイヤー
  → 対局者、企業、国家…「意思決定する存在」なら何でもいい。
  → ゲーム理論では“人”に限らない。
  

• 戦略
  → 単なる「一回の選択肢」ではない。
  → もしゲームが何手も続くなら「そのときどきの情報に応じてどう動くか」をあらかじめ決めた“行動計画”。
  → 将棋なら「角を動かす」ではなく「盤面ごとに一連の応手を決めておく」イメージ。
  

• 利得（ペイオフ）
  → 「点数」や「利益」の形に換算した結果。
  → ゼロ和なら、相手が +5 点なら自分は −5 点。利害が完全に反対。
  

• 情報
  → 「同時手」＝相手の動きを知らずに選ぶ。
  → 「順番手」＝相手の手を見てから動ける。
  → 「完全情報」＝盤面のすべてが分かっている（将棋）。
  → 「不完全情報」＝相手のカードが見えない（ポーカー）。
  

• 混合戦略
  → 行動をサイコロや確率で混ぜる。
  → ノイマンの大発明は「ランダムに選ぶこと自体が正規の戦略だ」と定義したこと。
  → 例：じゃんけんで「グー70％、チョキ30％」という戦い方を数学的に扱えるようにした。
  

4. 二人ゼロ和ゲームと行列表現

ゼロ和では、行プレイヤー（R）と列プレイヤー（C）の利得は相反し、ひとつの行列 $A$ だけで表せる（Rの利得が $A_{ij}$）。

• Rが分布 $p$、Cが分布 $q$ を選ぶと、Rの期待利得は $p^T A q$。
• Rは minimax：$\max_p \min_q p^T A q$ を狙い、Cは maximin：$\min_q \max_p p^T A q$ を狙う。

ミニマックス定理（1928）：

任意の有限二人ゼロ和ゲームで
$\max_{p},\min_{q}, p^T A q ,=, \min_{q},\max_{p}, p^T A q$
が成り立ち、等式値 $v$（ゲームの値）を達成する最適混合戦略 $p^, q^$ が存在する。

これは**鞍点（サドルポイント）**の存在主張であり、確率を戦略に混ぜることで初めて一般に成立する。

直観：純戦略だけだと「後出しジャンケン」になり揺れ続けるが、確率を混ぜると相手の期待値を釣り合いにし、どちらもそれ以上改善できない「均衡点」に固定できる。

• 行列 $A$ の意味
  → $A_{ij}$ は「Rが行$i$を選び、Cが列$j$を選んだときのRの点数」。
  → Cの点数はちょうど $-A_{ij}$。だから1つの行列で全体が表せる。

• $p^T A q$
  → $p$ = Rの手の確率分布、$q$ = Cの確率分布。
  → その掛け算で「期待利得（平均点）」が出る。
  → 要するに「お互いにサイコロ戦略を混ぜたときの平均スコア」。
  

• minimax / maximin
  → R（行プレイヤー）は「Cが一番意地悪に動いてきても、最大限マシな結果を取れるように」動く。
  → C（列プレイヤー）はその逆。
  → つまり両者が「最悪を見越した最善策」をとってる。
  

• ミニマックス定理
  → 「順番を逆にしても答えが同じになる」という保証。
  → これが成立するから「安全値＝ゲームの値」がきっちり決まる。
  

• 鞍点（サドルポイント）
  → グラフにすると「谷と山のちょうど境目」のような点。
  → 上下から見ても、左右から見ても安定。
  

• 直感例
  → ジャンケンを純戦略だけで考えると、グーに勝つためにパー…それに勝つためにチョキ…と無限ループ。
  → でも「1/3ずつ混ぜる」と相手の期待値は常にゼロに固定される。
  → これが「混合戦略の力」。
  

例：2×2ゼロ和ゲーム

行プレイヤー（R）が「上」「下」のどちらかを選ぶ。
列プレイヤー（C）が「左」「右」のどちらかを選ぶ。
Rの利得を行列 $A$ で表すと：

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{bmatrix} $$

• 意味：

  • (上, 左) → Rは +1
  • (上, 右) → Rは −1
  • (下, 左) → Rは −1
  • (下, 右) → Rは +1

• 対称構造だから「まるでジャンケンの縮小版（勝ち/負けだけ）」になってる。

混合戦略の計算

• Rの確率分布を $p = (p, 1-p)$ とする（上を選ぶ確率 = $p$）。
• Cの確率分布を $q = (q, 1-q)$ とする（左を選ぶ確率 = $q$）。

期待利得は

$$ p^T A q = \begin{bmatrix} p & 1-p \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q \ 1-q \end{bmatrix} $$

計算ステップ

1. まず $Aq$ を計算：

$$ Aq = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q \ 1-q \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2q - 1 \ 1 - 2q \end{bmatrix} $$

2. 次に $p^T(Aq)$ を計算：

$$ p^T(Aq) = p(2q - 1) + (1-p)(1 - 2q) $$

3. 展開して整理：

$$ = 2pq - p + 1 - 2q - p + 2pq = 4pq - 2p - 2q + 1 $$

解釈

• $E(p,q) = 4pq - 2p - 2q + 1$ が Rの期待利得。
• $p,q$ を0〜1で動かすと、この値が上下に揺れる。
• 最適戦略を探すと、$p=0.5, q=0.5$ に落ち着いて、期待利得は0。 → お互い50:50で混ぜるのが均衡。

• 式の意味

  • $p$ = Rが上を選ぶ確率
  • $q$ = Cが左を選ぶ確率
  • $E(p,q)$ が「平均的な勝ち点」

• 均衡点

  • どちらも半々に混ぜると「誰も得しない＝0」に安定する。
  • 片方が確率をずらすと相手に読まれて損する。

5. 手計算レシピ：2×2ゼロ和の解き方

行列

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}. $$

1. 行プレイヤー R の混合比

   • 行1を選ぶ確率を $p$、行2は $1-p$ とする。
   • Cが列1を選んだときのRの期待利得：$E(C1) = ap + c(1-p)$
   • Cが列2を選んだときのRの期待利得：$E(C2) = bp + d(1-p)$
   • Rにとって「どっちを選ばれても同じ」にすれば安全。 → $E(C1) = E(C2)$ から $p$ を解く。

2. 列プレイヤー C の混合比

   • 列1を選ぶ確率を $q$、列2は $1-q$ とする。
   • Rが行1を選んだとき：$E(R1) = aq + b(1-q)$
   • Rが行2を選んだとき：$E(R2) = cq + d(1-q)$
   • Cにとっても「Rがどちらを打っても同じ損」にしたい。 → $E(R1) = E(R2)$ から $q$ を解く。

3. ゲームの値

   • どちら側の式に代入しても同じ値 $v$ になる。
   • これが「ゲームの値」（ゼロ和なのでRの得点＝Cの損失）。

例：

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -3 & 4 \end{pmatrix} $$

• Rの期待利得： $E(C1) = 2p + (-3)(1-p) = 5p - 3$ $E(C2) = -p + 4(1-p) = 4 - 5p$ 等式 $5p - 3 = 4 - 5p$ より $p = 0.7$。

• ゲームの値：$v = 5p - 3 = 0.5$。

• C側： $E(R1) = 2q + (-1)(1-q) = 3q - 1$ $E(R2) = -3q + 4(1-q) = 4 - 7q$ 等式 $3q - 1 = 4 - 7q$ より $q = 0.5$。

• 同じく $v = 0.5$。

翻訳メモ（自分用）

• なぜ「等しくする」のか？ 相手が「より損させられる方」を選ばないように、両方の選択肢の損得を釣り合わせるのがコツ。 だから「等式を作って解く」。

• ゲームの値 $v$ の意味 「両者が最適混合を使ったときに安定して決まる平均点」。 → これ以上よくも悪くもならない安全圏。

• 一般化 2×2は手計算でいけるけど、サイズが大きいと「線形計画法（LP）」で解く。 → 実はミニマックス定理とLPの双対性はほぼ同じ構造を持っている。

• 公理のざっくり意味

  • 完全性：どの2つの選択肢も「好む／同じ／嫌う」で比べられる。
  • 推移性：AをBより好み、BをCより好むなら、AをCより好む。
  • 連続性：すごく悪い結果とすごく良い結果の中間に「そのどちらよりも好ましい確率混合」がある。
  • 独立性：AとBの比較が、Cと混ぜても逆転しない。

• 期待効用 $\mathbb{E}[u(x)]$ → 「結果の満足度に確率を掛けて合計したもの」で選好を表せる。 → つまり「くじの好み」が数式で扱えるようになる。

• アフィン変換の自由度 → 効用は“差”や“順序”が大事で、絶対値や単位はどうでもいい。 → $u(x)$ を 2倍しても＋10しても、意思決定は変わらない。

• 戦略とのつながり → 混合戦略をとったとき、その「確率的結果」に対して合理的に評価できる。 → 「ランダムを使うのは直感的に不自然」じゃなく、「効用を通せば合理的」になる。

6. 期待効用（VNM効用）と意思決定

フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンは、確率的な選好に対して次の公理が満たされるなら、選好を期待効用 $\mathbb{E}[u(x)]$ の大小で表現できることを示した。

• 公理：完全性・推移性・連続性・独立性
• 効用関数 $u$ はアフィン変換まで一意（$au+b$ は同じ選好を表す）。
• 混合（くじ）を評価できるため、混合戦略の合理性に厚みを与える。

翻訳メモ（自分用）

• 完全性 → どんな2つの選択肢A,Bも「Aの方がいい / Bの方がいい / 同じ」で必ず比較できる。

• 推移性 → A > B, B > C なら A > C。好みがグルグルしない。

• 連続性 → 極端に悪い結果と極端に良い結果の間には、確率を混ぜればちょうど中間的に好ましいものが作れる。

• 独立性 → A > B なら、AをCと混ぜたくじと、BをCと混ぜたくじを比べても順序は変わらない。

• 期待効用 $\mathbb{E}[u(x)]$ → 結果ごとに「効用」を与え、確率を重みとして合計。 → くじや確率的戦略を合理的に評価できる。

• アフィン変換の自由度 → 効用値は絶対スケールじゃなく「順序」と「差」が重要。 → $u(x)$ を2倍したり+10したりしても選好は変わらない。

• 混合戦略との接続 → 「確率で行動を混ぜる」のが合理的かどうか？ → VNM効用は「確率的な選択肢を効用の期待値で評価できる」と保証するので、混合戦略に正当性を与える。

具体的なイメージ（宝くじ例）

• 50%で100円、50%で0円 → 期待値は50円。
• 確実に40円をもらえる選択肢。

数学的には前者の方が高いけど、効用関数の形（リスク回避型なら凹関数）によって「40円確実」の方を選ぶ人もいる。

7. ノイマン以後：広がりと位置づけ

• 非ゼロ和ゲーム → ナッシュ（1950/51）。ゼロ和の枠を超えて「みんなの利益が必ずしも逆じゃない」場面を扱えるようにした。均衡概念＝ナッシュ均衡。

• 協力ゲーム → プレイヤーがチームを組んだとき「どう利益を分けるか」を扱う。

  • VNMの安定集合（coalitionが崩れない条件）
  • シャープレイ値：公平な配分を与える式。

• 拡張形ゲーム → クーン（1953）。ゲームを木構造で表し、順番・情報集合・信念をはっきり書けるようにした。 → ここから部分ゲーム完全均衡（subgame perfect equilibrium）や逆推論（backward induction）が定式化。

• 不完備情報 → ハーサニ（1967–68）。相手のタイプ（強い/弱い、好戦的/協力的など）が確率でしかわからない状況をモデル化。 → ベイズ・ナッシュ均衡へつながる。

• 計算複雑性 → 均衡を計算するのは簡単じゃない。

  • 計算時間の難しさ（PPAD完全など）
  • 繰り返し学習での収束（後悔最小化アルゴリズム）
  • 現代では「計算ゲーム理論」としてAIや経済設計と結びついている。

メモ（自分用）

• ノイマンのゼロ和＋混合戦略は「出発点」。
• その後の広がりは「ゼロ和から非ゼロ和へ」「一回きりから拡張形へ」「完全情報から不完備情報へ」「理論から計算へ」。
• つまり「現実に近づける方向」と「計算で使う方向」の両方に広がった。

8. 代表的な古典例

• マッチング・ペニー → 表裏を当てる・外すゲーム。純戦略で固定すると必ず相手に読まれる。 → 混合で「表と裏を50–50」にするのが唯一の安定。 → ミニマックスがそのまま体感できるシンプルな教材。

• じゃんけん → グー・チョキ・パーを 1/3 ずつ混ぜるのが均衡。 → 一見バカげてるけど「どの手を出しても相手に読まれない」状態。 → 「純戦略だけなら無限に後出しが続く → 混合が解決する」の直感がわかりやすい。

• コロネル・ブロット（Colonel Blotto） → 戦力を複数の戦場に同時配分するゲーム。 → 戦場ごとに勝敗が決まるので、配分バランスが全体の勝敗を決める。 → 離散的にも連続的にも考えられ、確率的に配分する戦略が「ミニマックス的に最適」になる。 → 「資源をどこに割くか」問題の原型で、軍事・広告・政治キャンペーンなどに応用。

メモ（自分用）

• マッチング・ペニー → 「常にランダム化しないと破綻する」典型例。
• じゃんけん → 対称ゲーム、均衡が単純に「均等混合」で示せる。
• コロネル・ブロット → 離散的じゃなく「連続戦略」を扱う一歩進んだ例。資源分配の数学モデル。

9. 応用の地図

• 産業組織・価格競争

  • クールノー：数量で競争 → 相手の生産量を見越して自分の数量を決める。
  • ベルトラン：価格で競争 → 最安値に下げ合う「価格戦争」。
  • 入札・オークション：戦略的な値付け、収入最大化のメカニズム研究。

• 公共経済・制度設計

  • 投票ルール：少数派・多数派の利益配分をどう設計するか。
  • メカニズムデザイン：人が嘘をつかずに本音を申告するよう仕組みを作る（インセンティブ整合性）。

• 安全保障・抑止

  • 核抑止のゲーム「相互確証破壊」→「撃ったら自分も滅ぶ」均衡。
  • シグナリング：相手に意図を伝える（軍備公開など）。
  • コミットメント：後から裏切れないように縛る戦略。

• 通信・ネットワーク

  • 輻輳ゲーム：道路や回線にプレイヤーが殺到 → 混雑による損失をモデル化。
  • スケジューリング：リソースを公平に分け合う。
  • フォークゲーム：P2Pや分散ネットワークでの協調行動。

• 機械学習

  • GAN：生成者と識別者がミニマックスで戦う。
  • 強化学習：自己対戦でナッシュ均衡に近づける（AlphaGoなど）。
  • 敵対的学習：攻撃者と防御者の戦いをゲームとして捉える。

メモ（自分用）

• 産業 → 価格や数量の読み合い
• 制度設計 → ルールをどう作れば人が合理的に動くか
• 安全保障 → 破壊的選択も含めた戦略
• 通信 → 混雑や資源配分の数理
• 機械学習 → GANやRLが「ミニマックスの実装例」

10. 誤解と限界

• 「勝てる戦略が必ずある」 → ×

  • ゼロ和ゲームで保証されるのは「ゲームの値 $v$ が存在する」こと。
  • 意味は「負けない最低ラインがある」ということであって、常に勝利できるわけじゃない。

• 完全合理性の仮定

  • 古典ゲーム理論は「プレイヤーは完全に合理的」と仮定。

  • 現実の人は「限定合理」（サイモン）で、計算や情報処理の能力に限界がある。

  • 行動経済学が示す例：

    • アレのパラドックス（期待効用に従わない選好）
    • エルスバーグのパラドックス（曖昧さ回避）。

• 均衡は多重

  • 均衡が1つに定まらない場合が多い。
  • どの均衡に落ち着くかは「フォーカルポイント」（みんなが自然に選ぶ焦点）や文化・制度に依存。
  • だから「均衡をデザインする仕組み＝制度設計」が重要になる。

• 計算可能性

  • 均衡が理論的に存在しても、実際に求めるのは計算的に難しいことが多い。
  • 規模が大きいゲームでは線形計画法や近似アルゴリズム、ヒューリスティクスを使う。
  • 存在の証明と計算の容易さは全く別。

翻訳メモ（自分用）

• 勝ち筋＝常勝じゃない → 「安全圏の存在」にすぎない。
• 合理性の限界 → 行動経済学が補ってる。
• 均衡の複数性 → 「どの均衡に落ち着くか」を決めるのは数理じゃなく社会的要素。
• 計算の壁 → 数学的に存在しても、実務で解けるとは限らない。

11. まとめ（フォン・ノイマンの核）

• 確率混合こそが理性の武器

  • 読み合いを終わらせ、相手に無差別化を強いる。

• 最悪を最小化する視点

  • 悲観的に見えて、戦略の堅牢性を最大化する設計思想。

• ゲームの値の存在

  • 戦略的相互作用を数理的に安定化できることを証明。

この3点が、後継のナッシュ均衡や制度設計、機械学習のミニマックスまで続く背骨になっている。

翻訳メモ（自分用）

• 混合戦略＝「ランダム化を武器にする」という逆転の発想。
• ミニマックス＝「負けを小さくする考え方」が合理的に見える瞬間。
• ゲームの値＝「読み合いが永遠に揺れずに、安定点に収まる」ことを保証。

→ 結局ノイマンが残したのは「不確実性を数理で飼いならす視点」。 これが自分にとっても理解の軸。

12. 参考文献（古典）

• John von Neumann (1928), Zur Theorie der Gesellschaftsspiele.
• John von Neumann & Oskar Morgenstern (1944), Theory of Games and Economic Behavior.
• John F. Nash (1950, 1951), Non-cooperative games.
• Harold W. Kuhn (1953), Extensive games and the problem of information.
• Lloyd S. Shapley (1953), A value for n-person games.
• John C. Harsanyi (1967–1968), Games with incomplete information.

付録A：用語早見表

• ミニマックス：相手の最善反応を織り込んだ最悪ケースの最小化。
• 混合戦略：複数の純戦略を確率で選ぶ戦略。
• ゲームの値：ゼロ和で達成される期待利得の一定値。
• 鞍点（サドルポイント）：一方に凸、もう一方に凹の極値点。ミニマックスの均衡点。
• VNM効用：確率選好を期待効用で表現しうるとする理論。

付録B：JSで 2×2 ゼロ和ゲームを最短解法

// A = [[a, b], [c, d]] を与えると、{p, q, v} を返す（p: 行1確率, q: 列1確率, v: 値）
function solve2x2([ [a,b], [c,d] ]) {
  const denomP = (a - c) - (b - d);           // 係数  (E(C1)=E(C2)) の p の分母
  if (denomP === 0) throw new Error('退化ケース: 行の等価性');
  const p = (d - c) / denomP;                  // R の混合

  const denomQ = (a - b) - (c - d);           // 係数  (E(R1)=E(R2)) の q の分母
  if (denomQ === 0) throw new Error('退化ケース: 列の等価性');
  const q = (d - b) / denomQ;                  // C の混合

  const v = a * p * q + b * p * (1 - q) + c * (1 - p) * q + d * (1 - p) * (1 - q);
  return { p, q, v };
}

console.log(solve2x2([[2,-1],[-3,4]])); // { p: 0.7, q: 0.5, v: 0.5 }

注意：数値が境界に近いと丸め誤差・退化が出ます。一般サイズは LP ソルバ（単体法／内点法）を使うのが安全です。

付録C：LP定式化（行プレイヤー視点）

ゼロ和で R の利得を最大化：

• 変数：戦略分布 $p_i$ と値 $v$
• 目的：$v$ を最大に
• 制約：対すべての列 $j$ について $\sum_i p_i A_{ij} \ge v$、かつ $\sum_i p_i = 1,\ p_i\ge 0$

双対問題は C の最小化問題になり、最適値は一致（LP双対性）。

終わりに

フォン・ノイマンの視座は「相手がいても合理的に設計できる」という希望そのものだ。数字は冷たいが、読み合いを安定させる道具として、いまも最前線で使われている。